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O Teorema de Pitágoras

Uma exploração deste famoso e fundamental teorema, e suas aplicações.

[Direções : Execute primeiramente a seção Code Resource. Embora não haja nenhum output imediato, essas definições serão usadas posteriormente em outro worksheet.]

0. Code

> restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> cef := 'color=COLOR(RGB,.7,.7,.4), filled = true':
cbf := 'color=COLOR(RGB,.4,.4,.8), filled = true':

>    RtTriPlot := proc(A,B,C)
local sA,sB,sC,d;

sA := [ (C[1]+B[1])/2, (C[2]+B[2])/2];
sB := [ (A[1]+C[1])/2, (A[2]+C[2])/2];
sC := [ (A[1]+B[1])/2, (A[2]+B[2])/2];
d := .6:
display(
    plot( [A,B,C,A], cbf,
                    thickness = 3, axes = none, scaling = constrained ),
    textplot( [sA[1],   sA[2]-d, `a`],font=[TIMES,ROMAN,20]),
    textplot( [sB[1]-d, sB[2],   `b`],font=[TIMES,ROMAN,20]),
    textplot( [sC[1]+d, sC[2]+d, `c`],font=[TIMES,ROMAN,20])
        );
end:

>    RtTriPlot2 := proc(a,b)
local A,B,C,c, sA,sB,sC,d;
B := [a,0]; A:=[0,b]; C:= [0,0];
sB := [ 0, b/2];
sA := [ a/2, 0];
sC := [ a/2, b/2];
c := sqrt( a^2 + b^2);
d := .3:
display(
    plot( [A,B,C,A], cef,
                    thickness = 3, axes = none, scaling = constrained ),
    textplot( [sA[1],   sA[2]-d, a],font=[TIMES,ROMAN,15]),
    textplot( [sB[1]-d, sB[2],   b],font=[TIMES,ROMAN,15]),
    textplot( [sC[1]+d, sC[2]+d, c],font=[TIMES,ROMAN,15])
        );
end:

1. O Teorema

Todos nós sabemos como é um triângulo retângulo, certo?

> RtTriPlot( [0,8],[6,0],[0,0]);

Ou isso :

> RtTriPlot( [0,5],[12,0],[0,0]);

O teorema é esse : (trumpetes por favor....)

> a^2 + b^2 = c^2;

Embora ele algumas vezes apareça disfarçado :

> c = sqrt( a^2 + b^2);

2. A Prova

Existe mais de 100 provas que tem sido deixadas nos últimos dois milênios para esse teorma fundamental. Nós iremos criar um diagrama que pode auxiliar a provar a validade do teorema.

> a := 5; b := 7;

>    display( polygonplot( [[0,0],[b,0],[0,a]],color = red ),
  polygonplot( [[b,0],[a+b,0],[a+b,b]], color = green ),
  polygonplot( [[a+b,b],[a+b,a+b],[a,a+b]], color = blue ),
  polygonplot( [[0,a],[a,a+b],[0,a+b]], color = violet ),
  polygonplot({[[b,0],[a+b,b],[a,a+b],[0,a]]},color = yellow), scaling= constrained);

Como isso prova o teorma? Nós iremos calcular a área para esse diagrama de duas maneiras diferentes.

1. Área de Partes

Cada um dos quatro triângulos (verde, vermelho, azul, roxo) tem dimensôes a, b, e c.

> a:= 'a': b:= 'b':
`Area of each triangle` = (1/2)*a*b;

> `Area of all four triangles` = 4*(1/2)*a*b;

> `Area of Yellow Square in the middle` = c^2;

> `Total Area of Diagram` = %% + %;

2. Área Total

Nós também podemos comparar a área de uma maneira diferente. O diagrama total é atualmete um quadrado. A extensão do lado de um grande quadrado é a + b, já que cada lado do quadrado consiste de um lado menor do triângulo e um grande cateto do triângulo.

> `Total Area of Diagram` = (a+b)^2;

Equacionando os Dois Tipos de Área

Agora nós equacionamos os dois diferentes cálculos para a área, e solucionamos.

> 2*a*b + c^2 = (a+b)^2;

> expand(%);

> lhs(%)-rhs(%) = 0;

> c^2 = solve(%, c^2);

Voila!...oops....eu quero dizer, "QED" (quo est demonstratum...thus it is demonstrated).

3. Encontrando os Lados dos Triângulos Retângulos

dados dois lados quaisquer de um triângulo retângulo é possível encontrar o terceiro lado usando esta fórmula. A única chave para usar a fórmula é substituí-la apropriadamente.Apenas lembre-se que c, a hipotenusa, é o lado maior do triângulo, e seu quadrado é igual a soma dos quadrados dos outros dois.

> Pyth := c^2 = a^2+b^2;

Exemplo 3.1: Um triângulo retângulo tem catetos de lados 7 e 24, encontre a hipotenusa

Nesse caso, nos deram os dois catetos - os dois lados menores, a e b.

> subs( {a = 5, b = 12}, Pyth);

> c = 'sqrt(169)';
expand(%);

> RtTriPlot2(5,12);

Isso se adapta a um inteiro, mas habitualmente, existe uma raíz quadrada envolvida de uma maneira ou outra.

Exemplo 3.2: Um triângulo retângulo tem catetos de lado 2 e 3, encontre a hipotenusa

Nesse caso, nos deram os dois catetos - os dois lados menores, a e b.

> subs( {a = 2, b = 3}, Pyth);

> c = sqrt(13);

> RtTriPlot2(2,3);

Aqui está a outra variação - dada a hipotenusa e um cateto.

Exemplo 3.3: Um triângulo reto tem um catetode 10 polegadas e hipotenusa de 15 polegadas, encontre o outro lado

Nesse caso, nos deram os dois lados - a e b.

> subs( {a = 10, c = 15}, Pyth);

> b^2 = solve(%, b^2);

> b = 'sqrt(125)';
expand(%);

> RtTriPlot2( 10, 5*sqrt(5) );

4. Os Conhecidos Triângulos Retângulos

Existem duas famílias muito comuns de triângulos retângulos, as quais são bem conceituadas.

45-45-90 Triângulo

Quando dois catetos são iguais, os dois ângulos da base são iguais também - 45 graus cada.

> RtTriPlot2( 1, 1);

> subs( {a = x, b = x}, Pyth);

> c = sqrt( 2*x^2);
c = x*sqrt(2);

> RtTriPlot2(7,7);

A hipotenusa é sempre vezes o lado de cada um dos dois catetos em um triângulo 45-45-90.

O outro ângulo comum é esse.

30-60-90 Triângulo

Esse tipo de triângulo pode ser considerado como parte de um triângulo equilátero, e então a base menor é a metade da hipotenusa. Saber isso nos permite expressar o terceiro lado (o cateto maior) em termos dos outros dois.